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AP微积分最全知识点梳理
2017-06-14

AP微积分共分两个模块,每个部分又分为A和B两个部分,考试时间为195分钟。


 

其中第一个模块为多项选择题(5选1),共计105分钟,共45题,其中Part A总共30题,不允许使用计算器,考试时间为60分钟,Part B总共15题,共计45分钟,允许使用计算器;第二个模块为问答题,共6道题,Part A有两道题目,允许使用计算器,考试时间为30分钟,Part B有4道题目,不允许使用计算器,考试时间为60分钟。


 

每个选择题答对得1分,不答得0分,答错不扣分,卷面分乘以一个系数(1.2)为最后得分,如果所有的题都答对,则为54分,占总分的50%。问答题每道题9分,共54分,占总分的50%。基本上卷面分数得到70分以上就可以得到实际分数的5分,60以上的分数大概可以得到4分,低于4分的就没什么竞争力。


 

另外,关于计算器的使用,要求所选图形计算器一定要能画函数图像,求导数和积分值,推荐TI系列,比如TI-84。



 

考试内容

Calculus AB和BC所考内容大概包含5部分,分别为函数、极限和连续,导数和导数的应用,不定积分、定积分及其应用,微分方程和无穷级数。


 

其中,极限部分以求极限值和渐近线为主,大约5道选择题。

导数和导数的应用部分为考试重点,以运用不同函数的导数去解决实际物理或者几何问题为主,大约有15道选择题和3道问答题。

不定积分、定积分及其应用部分为考试重点,以运用不定积分的运算法则求体积、面积或者解决实际问题为主,大约有15道选择题和2道问答题。

微分方程部分主要考可分离变量的微分方程和斜率场,大约有5道选择题。

无穷级数部分为考试难点,不过只有BC考试,考试内容以泰勒级数、麦克劳林级数和拉格朗日余项为主,大约有1个问答题和5个选择题。


 

下面来具体解析一下考点:


 

A.Function函数

(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)

(2)幂函数(一次函数、二次函数,多项式函数和有理函数)

(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)

(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)

(5)复合函数,反函数

*(6)参数函数,极坐标函数,分段函数

(7)函数图像平移和变换


 

B.Limit and Continuity极限和连续

(1)极限的定义和左右极限

(2)极限的运算法则和有理函数求极限

(3)两个重要的极限

(4)极限的应用-求渐近线

(5)连续的定义

(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)

(7)最值定理、介值定理和零值定理


 

C.Derivative导数

(1)导数的定义、几何意义和单侧导数

(2)极限、连续和可导的关系

(3)导数的求导法则(共21个)

(4)复合函数求导

(5)高阶导数

(6)隐函数求导数和高阶导数

(7)反函数求导数

*(8)参数函数求导数和极坐标求导数


 

D.Application of Derivative导数的应用

(1)微分中值定理(D-MVT)

(2)几何应用-切线和法线和相对变化率

(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)

(4)求极值、最值,函数的增减性和凹凸性

(5)洛比达法则求极限

(6)微分和线性估计,四种估计求近似值

(7)欧拉法则求近似值


 

E.Indefinite Integral不定积分

(1)不定积分和导数的关系

(2)不定积分的公式(18个)

(3)U换元法求不定积分

*(4)分部积分法求不定积分

*(5)待定系数法求不定积分


 

F.Definite Integral 定积分

(1)Riemann Sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义

(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质

*(3)Accumulation function求导数

*(4)反常函数求积分


 

H.Application of Integral定积分的应用

(1)积分中值定理(I-MVT)

(2)定积分求面积、极坐标求面积

(3)定积分求体积,横截面体积

(4)求弧长

(5)定积分的物理应用


 

I.Differential Equation微分方程

(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程

(2)斜率场


 

*J.Infinite Series无穷级数

(1)无穷级数的定义和数列的级数

(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法

(3)四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数

(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数

(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差


 

▲注:微积分BC课程比AB课程考察内容更多,题目更难,AB的内容和难度大概相当于BC的1/2,多出的内容部分已经在上面用*号标出。
 


 

主要公式总结

A、Derivative导数

导数定义:

导数运算公式:


 

B、Indefinite Integral不定积分

不定积分定义:

不定积分运算公式:

反常积分:


 

C、Definite Integral定积分

运算法则:


 

D、Infinite Series无穷级数

级数定义:

四个常见级数:

幂级数、泰勒级数和麦克劳林级数:


 

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